小学二年级数学题李永乐居然做不出来

小学二年级数学题李永乐居然做不出来

最近,有小朋友问了我一个小学二年级的数学题,让我百思不得其解。大家看看,你能不能做出来:

9辆赛车的速度各不相同,它们要比快慢,但没有计时工具,只能在赛道上比谁先谁后,而且每次最多只能有3辆车比赛。那么,最少比几次,能保证选出最快的2辆赛车?

我做了好半天也没想出答案,于是我就咨询了我的学生507(此人毕业于北京大学数学系,以前也多次帮我解答数学问题,甚是厉害),她只花了3秒钟就告诉了我答案:5次。

这时,决赛中的第二名和总冠军在小组赛时的第二名,都是只输给了总冠军,它们俩谁快呢?还要比一下。谁赢了谁就是真正的第二名。所以,我们还需要一场附加赛。

当时,我在朋友圈里发了这个问题,许多同学都很快给出了5次的答案。不过,有两名国际金牌,一直在讨论为什么5次就是最少的,为什么4次就不行?

后来,507又告诉了一种方法,的确可以证明4次是不行的。她采用的是图论+反证法的方法。

首先,我们把问题理解为:需要从9辆车中,区分出冠军和亚军,我们认为这样理解题意是合理的,而且处理起来比较方便。如果你不区分冠军和亚军,问题可能会稍微复杂一些。

然后,把每一辆车看作一个点,用每一场比赛的结果进行连线,这样就构成了一个图。具体来说:比赛的过程就是给三辆车排序,如果我们把相邻成绩的两辆车用有向线段连接起来,一场比赛就会出现两条线。比如,在一次比赛中,汽车1最快,汽车2其次,汽车3最慢,那么它们之间的图应该是这样的:

如果举行4场比赛,最多能够画出8条线。为了找到冠军和亚军,这8条线个点连起来,形成一个单一的、树状的、没有闭环的图,比如下面这个样子:

大家可以想想:如果图不是单一的,而是分成两支,那么就没办法判断谁才是真正的第一。

首先:为了找到冠军,冠车和亚军车一定同场竞技过。因为,它们比其它车都快,如果它们没有比赛过,都会保持不败战绩,就无法区分出谁是冠军了。它们比赛时,冠军一定第一,亚军一定第二,所以冠军和亚军之间有连线。

然后,为了找到亚军,亚军和季军一定同场竞技过。因为,除了冠军以外,这两辆车比其它车都要快。如果它们没有比赛过,就无法区分出谁是亚军。同样的道理,亚军和季军之间有连线。

根据刚才所说,图中不能形成闭环,既然冠军和亚军之间、亚军和季军之间一定有连线,那么冠军和季军之间是不可以有连线的。可是你要注意:在我们进行第一场比赛时,随机选择了三辆车,如果选择的三辆车分别是冠军、季军和第四名,那么比赛后,根据我们的构造规则,冠军和季军分列小组第一和第二,它们之间会做出一条连线。这样,所有比赛结束后,冠军、亚军、季军就会出现一个闭环。

综上所述,8条线个点连成满足条件的图,所以4场比赛也不能保证从9辆车中找到冠军和亚军,5次比赛是最少情况。

比如:如果有n²辆车,每次比赛只有n辆车参赛,在没有计时工具的情况下,至少比赛多少次,才能保证找到第一名和第二名?

首先进行小组赛:每场比赛n辆车,共有n场比赛。按照刚才的构造方法,我们能把每一小组的赛车排序,并且进行连线。

最后,冠军小组赛时的第二名和总决赛的第二名,再进行一场附加赛,找到亚军就好了。比如下面这种情况:

最终,我们通过n场小组赛、1场总决赛、1场附加赛,找到了冠军和亚军,一共需要n+2场比赛。

如 果只需要n+1场比赛,每一场比赛只能对n辆车排序,能连n-1条线,所以所有比赛一共能够连(n+1)(n-1)=n²-1条线条线,连接n²个点,找到冠亚军,必须画出一个单一、树状、无闭环的图。

这个小学二年级数学题,可能很多同学都能想到答案。只是要证明它,的确不是一件容易的事。而且,到目前为止,我们还没有找到这个问题的一般答案,如果你愿意的话,可以由浅入深的思考以下问题。事先声明,除了第一个问题我找到了答案,后面两个还没有思考出来。

问题1:如果有nⁿ辆车,每次比赛最多有n辆车,那么最少比赛多少次,才能保证找到冠军和亚军?

问题2:如果有n辆车,每次比赛最多m辆车(m<n),那么至少比赛多少次,才能保证找到冠军和亚军?

问题3:如果有n辆车,每次比赛最多m辆车(m<n),要确定前k辆车的排名(k<n),至少要比赛多少场?

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注